Уравнения мелкой воды. Уравнение воды

Уравнения мелкой воды - это... Что такое Уравнения мелкой воды?

Результат решения уравнений мелкой воды для бассейна. Поверхность воды возмуается пятью всплесками, которые вызывают поверхностные волны, распространяющиеся по поверхности и отражающиеся от стенок бассейна

Уравнения мелкой воды (известные также как уравнения Сен-Венана (англ.)русск. в линейной форме) — система гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных, которая описывает потоки под поверхностью жидкости.

Уравнения получаются[1] путём интегрирования по глубине уравнений Навье — Стокса при условии, что горизонтальный масштаб много больше вертикального. При этом условии из закона неразрывности следует, что вертикальные скорости в жидкости малы, вертикальные градиенты давления близки к нулю, а горизонтальные градиенты вызываются неровностью поверхности жидкости и горизонтальные скорости одинаковы по всей глубине. При интегрировании по вертикали вертикальные скорости уходят из уравнений.

Хотя вертикальные скорости отсутствуют в уравнениях мелкой воды, они не обязательно равны нулю. Это важно, поскольку вертикальная скорость не может быть равна нулю, например, при изменении глубины акватории. Нулевой вертикальной скорости соответствует только случай плоского дна. Когда горизонтальные скорости получены, вертикальные скорости выводятся из уравнения непрерывности.

Ситуации, когда глубина акватории много меньше горизонтальных размеров, достаточно обычна, поэтому уравнения мелкой воды находят широкое применение. Они используются с учётом кориолисовых сил при моделировании атмосферы и океана как упрощение системы примитивных уравнений (англ.)русск., описывающих потоки в атмосфере.

Уравнения мелкой воды учитывают только один вертикальный уровень, поэтому они не могут описывать факторы, меняющиеся с глубиной. Тем не менее, когда динамика потоков в вертикальном направлении относительно проста, вертикальные изменения могут быть отделены от горизонтальных, и состояние такой системы можно описать несколькими системами уравнений для мелкой воды.

Уравнения

Консервативная форма

Уравнения мелкой моды выводятся из уравнений сохранения массы и импульса (уравнения Навье — Стокса), которые справедливы для общего случая, в том числе в ситуациях, когда условия мелкой воды не выполняются. Без учёта сил Кориолиса, трения и вязкости уравнения принимают вид:

$\begin{align} \frac{\partial \eta }{\partial t} + \frac{\partial (\eta u)}{\partial x} + \frac{\partial (\eta v)}{\partial y} & = 0\\[3pt] \frac{\partial (\eta u)}{\partial t}+ \frac{\partial}{\partial x}\left( \eta u^2 + \frac{1}{2}g \eta^2 \right) + \frac{\partial (\eta u v)}{\partial y} & = 0\\[3pt] \frac{\partial (\eta v)}{\partial t} + \frac{\partial (\eta uv)}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y}\left(\eta v^2 + \frac{1}{2}g \eta ^2\right) & = 0. \end{align}$

Неконсервативная форма

Уравнения могут быть записаны для скоростей. Поскольку скорости не входят в фундаментальные законы сохранения, эти уравнения не описывают явления типа гидравлического удара или гидравлического прыжка.

$\begin{align} \frac{Du}{Dt} - f v& = -g \frac{\partial \eta}{\partial x} - b u,\\[3pt] \frac{Dv}{Dt} + f u& = -g \frac{\partial \eta}{\partial y} - b v,\\[3pt] \frac{\partial \eta}{\partial t}& = - \frac{\partial}{\partial x} \Bigl( u \left( H + \eta \right) \Bigr) - \frac{\partial}{\partial y} \Bigl(v \left( H + \eta \right) \Bigr), \end{align}$

где

Применение в моделировании

Уравнения мелкой воду можно применять для моделирования волн Волны Россби и Кельвина (англ.)русск. в атмосфере, реках, озёрах, океанах, а также более мелких водоёмах. таких как бассейны. Для того, чтобы применение уравнений мелкой воды было корректным, горизонтальные размеры акватории должны быть значительно больше глубины. Уравнения мелкой воды пригодны также для моделирования приливов. Приливное движение, имеющее горизонтальные масштабы в сотни километров, могут считаться явлениями мелкой воды, даже если происходят над многокилометровыми океанскими глубинами.

Моделирование возникновения и распространения цунами при помощи уравнений мелкой воды (красная линия; без частотной дисперсии)) и с помощью приближения Буссинеска (синия линия, с частотной дисперсией). Глубина воды составляет 100 м

См. также

Примечания

Литература

Темам Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ. — 2-е изд. — М.: Мир, 1981. — 408 с.
Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Гидродинамика. — Издание 4-е, стереотипное.. — М.: Наука, 1988. — 736 с. — («Теоретическая физика», том VI).
Кутепов А. М., Стерман Л. С., Стюшин Н. Г. Гидродинамика и теплообмен при парообразовании. — 3-е изд., испр.. — М.: Высшая школа, 1986. — 448 с.
Кутепов А. М., Полянин А. Д., Запрянов З. Д., Вязьмин А. В., Казенин Д. А. Химическая гидродинамика. — М.: Квантум, 1996. — 336 с. — 1500 экз.

Ссылки

dic.academic.ru

Уравнения мелкой воды Википедия

Результат решения уравнений мелкой воды для бассейна. Поверхность воды возмущается пятью всплесками, которые вызывают поверхностные волны, распространяющиеся по поверхности и отражающиеся от стенок бассейна

Ситуации, когда глубина акватории много меньше горизонтальных размеров, достаточно обычна, поэтому уравнения мелкой воды находят широкое применение. Они используются с учётом кориолисовых сил при моделировании атмосферы и океана как упрощение системы примитивных уравнений, описывающих потоки в атмосфере.

Уравнения

Консервативная форма

Уравнения мелкой воды выводятся из уравнений сохранения массы и импульса (уравнения Навье — Стокса), которые справедливы для общего случая, в том числе в ситуациях, когда условия мелкой воды не выполняются. Без учёта сил Кориолиса, трения и вязкости уравнения принимают вид:

∂η∂t+∂(ηu)∂x+∂(ηv)∂y=0∂(ηu)∂t+∂∂x(ηu2+12gη2)+∂(ηuv)∂y=0∂(ηv)∂t+∂(ηuv)∂x+∂∂y(ηv2+12gη2)=0.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial (\eta u)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\eta v)}{\partial y}}&=0\\[3pt]{\frac {\partial (\eta u)}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\eta u^{2}+{\frac {1}{2}}g\eta ^{2}\right)+{\frac {\partial (\eta uv)}{\partial y}}&=0\\[3pt]{\frac {\partial (\eta v)}{\partial t}}+{\frac {\partial (\eta uv)}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\eta v^{2}+{\frac {1}{2}}g\eta ^{2}\right)&=0.\end{aligned}}}

Неконсервативная форма

DuDt−fv=−g∂η∂x−bu,DvDt+fu=−g∂η∂y−bv,∂η∂t=−∂∂x(u(H+η))−∂∂y(v(H+η)),{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {Du}{Dt}}-fv&=-g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}-bu,\\[3pt]{\frac {Dv}{Dt}}+fu&=-g{\frac {\partial \eta }{\partial y}}-bv,\\[3pt]{\frac {\partial \eta }{\partial t}}&=-{\frac {\partial }{\partial x}}{\Bigl (}u\left(H+\eta \right){\Bigr )}-{\frac {\partial }{\partial y}}{\Bigl (}v\left(H+\eta \right){\Bigr )},\end{aligned}}}

где

Применение в моделировании

Уравнения мелкой воды можно применять для моделирования волн Волны Россби и Кельвина (англ.)русск. в атмосфере, реках, озёрах, океанах, а также более мелких водоёмах. таких как бассейны. Для того, чтобы применение уравнений мелкой воды было корректным, горизонтальные размеры акватории должны быть значительно больше глубины. Уравнения мелкой воды пригодны также для моделирования приливов. Приливное движение, имеющее горизонтальные масштабы в сотни километров, могут считаться явлениями мелкой воды, даже если происходят над многокилометровыми океанскими глубинами.

См. также

Примечания

Литература

Темам Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ. — 2-е изд. — М.: Мир, 1981. — 408 с.
Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Гидродинамика. — Издание 4-е, стереотипное. — М.: Наука, 1988. — 736 с. — («Теоретическая физика», том VI).
Кутепов А. М., Стерман Л. С., Стюшин Н. Г. Гидродинамика и теплообмен при парообразовании. — 3-е изд., испр.. — М.: Высшая школа, 1986. — 448 с.
Кутепов А. М., Полянин А. Д., Запрянов З. Д., Вязьмин А. В., Казенин Д. А. Химическая гидродинамика. — М.: Квантум, 1996. — 336 с. — 1500 экз.

Ссылки

wikiredia.ru

Уравнения мелкой воды — Википедия

Ситуации, когда глубина акватории много меньше горизонтальных размеров, достаточно обычна, поэтому уравнения мелкой воды находят широкое применение. Они используются с учётом кориолисовых сил при моделировании атмосферы и океана как упрощение системы примитивных уравнений, описывающих потоки в атмосфере.

Консервативная форма[править]

Неконсервативная форма[править]

где

Применение в моделировании[править]

Темам Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ. — 2-е изд. — М.: Мир, 1981. — 408 с.
Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Гидродинамика. — Издание 4-е, стереотипное. — М.: Наука, 1988. — 736 с. — («Теоретическая физика», том VI).
Кутепов А. М., Стерман Л. С., Стюшин Н. Г. Гидродинамика и теплообмен при парообразовании. — 3-е изд., испр.. — М.: Высшая школа, 1986. — 448 с.
Кутепов А. М., Полянин А. Д., Запрянов З. Д., Вязьмин А. В., Казенин Д. А. Химическая гидродинамика. — М.: Квантум, 1996. — 336 с. — 1500 экз.

wp.wiki-wiki.ru

Уравнения мелкой воды

Уравнения мелкой воды известные также как уравнения Сен-Венана англрусск в линейной форме — система гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных, которая описывает потоки под поверхностью жидкости

Уравнения получаются1 путём интегрирования по глубине уравнений Навье — Стокса при условии, что горизонтальный масштаб много больше вертикального При этом условии из закона неразрывности следует, что вертикальные скорости в жидкости малы, вертикальные градиенты давления близки к нулю, а горизонтальные градиенты вызываются неровностью поверхности жидкости и горизонтальные скорости одинаковы по всей глубине При интегрировании по вертикали вертикальные скорости уходят из уравнений

Хотя вертикальные скорости отсутствуют в уравнениях мелкой воды, они не обязательно равны нулю Это важно, поскольку вертикальная скорость не может быть равна нулю, например, при изменении глубины акватории Нулевой вертикальной скорости соответствует только случай плоского дна Когда горизонтальные скорости получены, вертикальные скорости выводятся из уравнения непрерывности

Ситуации, когда глубина акватории много меньше горизонтальных размеров, достаточно обычна, поэтому уравнения мелкой воды находят широкое применение Они используются с учётом кориолисовых сил при моделировании атмосферы и океана как упрощение системы примитивных уравнений, описывающих потоки в атмосфере

Уравнения мелкой воды учитывают только один вертикальный уровень, поэтому они не могут описывать факторы, меняющиеся с глубиной Тем не менее, когда динамика потоков в вертикальном направлении относительно проста, вертикальные изменения могут быть отделены от горизонтальных, и состояние такой системы можно описать несколькими системами уравнений для мелкой воды

Содержание

1 Уравнения
- 11 Консервативная форма
- 12 Неконсервативная форма
2 Применение в моделировании
3 См также
4 Примечания
5 Литература
6 Ссылки

Уравненияправить

Консервативная формаправить

Уравнения мелкой воды выводятся из уравнений сохранения массы и импульса уравнения Навье — Стокса, которые справедливы для общего случая, в том числе в ситуациях, когда условия мелкой воды не выполняются Без учёта сил Кориолиса, трения и вязкости уравнения принимают вид:

∂ η ∂ t + ∂ η u ∂ x + ∂ η v ∂ y = 0 ∂ η u ∂ t + ∂ ∂ x η u 2 + 1 2 g η 2 + ∂ η u v ∂ y = 0 ∂ η v ∂ t + ∂ η u v ∂ x + ∂ ∂ y η v 2 + 1 2 g η 2 = 0 ++&=0\\3pt+\left\eta u^+g\eta ^\right+&=0\\3pt++\left\eta v^+g\eta ^\right&=0\end

Неконсервативная формаправить

Уравнения могут быть записаны для скоростей Поскольку скорости не входят в фундаментальные законы сохранения, эти уравнения не описывают явления типа гидравлического удара или гидравлического прыжка

D u D t − f v = − g ∂ η ∂ x − b u , D v D t + f u = − g ∂ η ∂ y − b v , ∂ η ∂ t = − ∂ ∂ x u H + η − ∂ ∂ y v H + η , -fv&=-g-bu,\\3pt+fu&=-g-bv,\\3pt&=-u\leftH+\eta \right-v\leftH+\eta \right,\end

где

u	— скорость вдоль оси x;
v	— скорость вдоль оси y;
H	— средняя высота поверхности жидкости;
η	— отклонение давления в горизонтальной плоскости от среднего значения;
g	— ускорение свободного падения;
f	— параметр Кориолиса, равный на Земле 2 Ω sin ⁡ φ ;
Ω	— угловая скорость вращения Земли вокруг оси π / 12 радиан/час;
φ	— географическая широта;
b	— коэффициет вязкого сопротивления

Применение в моделированииправить

Уравнения мелкой воды можно применять для моделирования волн Волны Россби и Кельвина англрусск в атмосфере, реках, озёрах, океанах, а также более мелких водоёмах таких как бассейны Для того, чтобы применение уравнений мелкой воды было корректным, горизонтальные размеры акватории должны быть значительно больше глубины Уравнения мелкой воды пригодны также для моделирования приливов Приливное движение, имеющее горизонтальные масштабы в сотни километров, могут считаться явлениями мелкой воды, даже если происходят над многокилометровыми океанскими глубинами

Моделирование возникновения и распространения цунами при помощи уравнений мелкой воды красная линия; без частотной дисперсии и с помощью приближения Буссинеска синия линия, с частотной дисперсией Глубина воды составляет 100 м

См такжеправить

Метод Вольцингера

Примечанияправить

↑ David A Randall The Shallow Water Equations англ 6 July 2006 Проверено 17 декабря 2011 Архивировано из первоисточника 6 сентября 2012

Литератураправить

Темам Р Уравнения Навье — Стокса Теория и численный анализ — 2-е изд — М: Мир, 1981 — 408 с
Ландау, Л Д, Лифшиц, Е М Гидродинамика — Издание 4-е, стереотипное — М: Наука, 1988 — 736 с — «Теоретическая физика», том VI
Кутепов А М, Стерман Л С, Стюшин Н Г Гидродинамика и теплообмен при парообразовании — 3-е изд, испр — М: Высшая школа, 1986 — 448 с
Кутепов А М, Полянин А Д, Запрянов З Д, Вязьмин А В, Казенин Д А Химическая гидродинамика — М: Квантум, 1996 — 336 с — 1500 экз

Булатов О В, Елизарова Т Г Регуляризованные уравнения мелкой воды и эффективный метод численного моделирования течений в неглубоких водоемах // Журнал вычислительной математики и математической физики — 2011 — Т 51, № 1 — С 170–184

Елизарова Т Г, Злотник А А, Никитина О В Моделирование одномерных течений мелкой воды на основе регуляризованных уравнений // Препринты ИПМ им М В Келдыша 2011 № 33 36 с

З И Федотова, Г С Хакимзянов Иерархия уравнений мелкой воды: вывод, исследование, вычислительные алгоритмы Международная конференция «Математические и информационные технологии, MIT-2011»

А С Петросян Дополнительные главы гидродинамики тяжёлой жидкости со свободной границей ИКИ РАН, М, 2010, 128 с

Ссылкиправить

Оригинальные работы Навье, Пуассона, Сен-Венана, Стокса, посвященные выводу уравнений движения вязкой жидкости
http://physicsnmtedu/~raymond/classes/ph432/notes/shallowgov/shallowgovpdf — вывод уравнений мелкой воды исходя из общих принципов вместо упрщения уравнений Навье-Стокса, некоторые аналитические решения

Математическая физика Виды уравнений Типы уравнений Краевые условия Уравнения математической физики Методы решения Исследование уравнений Связанные темы

Дифференциальное уравнение • Обыкновенное дифференциальное уравнение • Дифференциальное уравнение в частных производных • Интегральное уравнение • Интегро-дифференциальное уравнение • Стохастическое дифференциальное уравнение

Гиперболическое уравнение • Параболическое уравнение • Эллиптическое уравнение

Первого рода • Второго рода • Третьего рода • Идеальный тепловой контакт

Диффузия и Конвекция Гидродинамика Электромагнетизм Квантовая механика Общие модели

Уравнение теплопроводности • Уравнение диффузии • Уравнение Масона — Вивера

Уравнение переноса • Уравнения Навье — Стокса • Уравнение Эйлера • Уравнение вихря • Уравнение Бюргерса • Уравнения мелкой воды • Уравнение Кортевега — де Фриза

Уравнения Максвелла • Уравнение Гельмгольца • Уравнение Ландау — Лифшица • Экранированное уравнение Пуассона

Уравнение Шрёдингера • Уравнение Рариты — Швингера • Уравнение Хартри • Уравнение Дирака • Уравнение Клейна — Гордона

Уравнение непрерывности • Волновое уравнение • Уравнение Фоккера — Планка • Уравнение Пуассона

Методы решения дифференциальных уравнений Сеточные методы Не сеточные методы

Конечноэлементные методы Другие методы

Метод конечных элементов • Метод Галёркина • Разрывный метод Галёркина • Многомасштабный метод конечных элементов • Многосеточный метод

Метод конечных разностей • Метод конечных объёмов • Метод Годунова • Метод граничного элемента

Метод дискретного элемента • Метод подвижных клеточных автоматов • Метод частиц в ячейках • Метод решёточных уравнений Больцмана

Функция Грина • Теория потенциала • Задача Штурма — Лиувилля • Теорема Стеклова

Прикладная математика • Математическая химия • Математическое моделирование • Функциональный анализ • Численные методы

Уравнения мелкой воды Информация о

Уравнения мелкой водыУравнения мелкой воды

Уравнения мелкой воды Информация Видео

Уравнения мелкой воды Просмотр темы.

Уравнения мелкой воды что, Уравнения мелкой воды кто, Уравнения мелкой воды объяснение

There are excerpts from wikipedia on this article and video

www.turkaramamotoru.com

Уравнения мелкой воды — Википедия (с комментариями)

wiki-org.ru

Сеточные методыНе сеточные методы</table></td></tr></table></div></td></tr><tr><td colspan="2"></td></tr><tr><th scope="row">Исследование уравнений</th><td>

Отрывок, характеризующий Уравнения мелкой воды

Цель народа была одна: очистить свою землю от нашествия. Цель эта достигалась, во первых, сама собою, так как французы бежали, и потому следовало только не останавливать это движение. Во вторых, цель эта достигалась действиями народной войны, уничтожавшей французов, и, в третьих, тем, что большая русская армия шла следом за французами, готовая употребить силу в случае остановки движения французов. Русская армия должна была действовать, как кнут на бегущее животное. И опытный погонщик знал, что самое выгодное держать кнут поднятым, угрожая им, а не по голове стегать бегущее животное.

Когда человек видит умирающее животное, ужас охватывает его: то, что есть он сам, – сущность его, в его глазах очевидно уничтожается – перестает быть. Но когда умирающее есть человек, и человек любимый – ощущаемый, тогда, кроме ужаса перед уничтожением жизни, чувствуется разрыв и духовная рана, которая, так же как и рана физическая, иногда убивает, иногда залечивается, но всегда болит и боится внешнего раздражающего прикосновения. После смерти князя Андрея Наташа и княжна Марья одинаково чувствовали это. Они, нравственно согнувшись и зажмурившись от грозного, нависшего над ними облака смерти, не смели взглянуть в лицо жизни. Они осторожно берегли свои открытые раны от оскорбительных, болезненных прикосновений. Все: быстро проехавший экипаж по улице, напоминание об обеде, вопрос девушки о платье, которое надо приготовить; еще хуже, слово неискреннего, слабого участия болезненно раздражало рану, казалось оскорблением и нарушало ту необходимую тишину, в которой они обе старались прислушиваться к незамолкшему еще в их воображении страшному, строгому хору, и мешало вглядываться в те таинственные бесконечные дали, которые на мгновение открылись перед ними. Только вдвоем им было не оскорбительно и не больно. Они мало говорили между собой. Ежели они говорили, то о самых незначительных предметах. И та и другая одинаково избегали упоминания о чем нибудь, имеющем отношение к будущему. Признавать возможность будущего казалось им оскорблением его памяти. Еще осторожнее они обходили в своих разговорах все то, что могло иметь отношение к умершему. Им казалось, что то, что они пережили и перечувствовали, не могло быть выражено словами. Им казалось, что всякое упоминание словами о подробностях его жизни нарушало величие и святыню совершившегося в их глазах таинства. Беспрестанные воздержания речи, постоянное старательное обхождение всего того, что могло навести на слово о нем: эти остановки с разных сторон на границе того, чего нельзя было говорить, еще чище и яснее выставляли перед их воображением то, что они чувствовали.

Но чистая, полная печаль так же невозможна, как чистая и полная радость. Княжна Марья, по своему положению одной независимой хозяйки своей судьбы, опекунши и воспитательницы племянника, первая была вызвана жизнью из того мира печали, в котором она жила первые две недели. Она получила письма от родных, на которые надо было отвечать; комната, в которую поместили Николеньку, была сыра, и он стал кашлять. Алпатыч приехал в Ярославль с отчетами о делах и с предложениями и советами переехать в Москву в Вздвиженский дом, который остался цел и требовал только небольших починок. Жизнь не останавливалась, и надо было жить. Как ни тяжело было княжне Марье выйти из того мира уединенного созерцания, в котором она жила до сих пор, как ни жалко и как будто совестно было покинуть Наташу одну, – заботы жизни требовали ее участия, и она невольно отдалась им. Она поверяла счеты с Алпатычем, советовалась с Десалем о племяннике и делала распоряжения и приготовления для своего переезда в Москву. Наташа оставалась одна и с тех пор, как княжна Марья стала заниматься приготовлениями к отъезду, избегала и ее. Княжна Марья предложила графине отпустить с собой Наташу в Москву, и мать и отец радостно согласились на это предложение, с каждым днем замечая упадок физических сил дочери и полагая для нее полезным и перемену места, и помощь московских врачей. – Я никуда не поеду, – отвечала Наташа, когда ей сделали это предложение, – только, пожалуйста, оставьте меня, – сказала она и выбежала из комнаты, с трудом удерживая слезы не столько горя, сколько досады и озлобления. После того как она почувствовала себя покинутой княжной Марьей и одинокой в своем горе, Наташа большую часть времени, одна в своей комнате, сидела с ногами в углу дивана, и, что нибудь разрывая или переминая своими тонкими, напряженными пальцами, упорным, неподвижным взглядом смотрела на то, на чем останавливались глаза. Уединение это изнуряло, мучило ее; но оно было для нее необходимо. Как только кто нибудь входил к ней, она быстро вставала, изменяла положение и выражение взгляда и бралась за книгу или шитье, очевидно с нетерпением ожидая ухода того, кто помешал ей. Ей все казалось, что она вот вот сейчас поймет, проникнет то, на что с страшным, непосильным ей вопросом устремлен был ее душевный взгляд. В конце декабря, в черном шерстяном платье, с небрежно связанной пучком косой, худая и бледная, Наташа сидела с ногами в углу дивана, напряженно комкая и распуская концы пояса, и смотрела на угол двери. Она смотрела туда, куда ушел он, на ту сторону жизни. И та сторона жизни, о которой она прежде никогда не думала, которая прежде ей казалась такою далекою, невероятною, теперь была ей ближе и роднее, понятнее, чем эта сторона жизни, в которой все было или пустота и разрушение, или страдание и оскорбление. Она смотрела туда, где она знала, что был он; но она не могла его видеть иначе, как таким, каким он был здесь. Она видела его опять таким же, каким он был в Мытищах, у Троицы, в Ярославле. Она видела его лицо, слышала его голос и повторяла его слова и свои слова, сказанные ему, и иногда придумывала за себя и за него новые слова, которые тогда могли бы быть сказаны. Вот он лежит на кресле в своей бархатной шубке, облокотив голову на худую, бледную руку. Грудь его страшно низка и плечи подняты. Губы твердо сжаты, глаза блестят, и на бледном лбу вспрыгивает и исчезает морщина. Одна нога его чуть заметно быстро дрожит. Наташа знает, что он борется с мучительной болью. «Что такое эта боль? Зачем боль? Что он чувствует? Как у него болит!» – думает Наташа. Он заметил ее вниманье, поднял глаза и, не улыбаясь, стал говорить. «Одно ужасно, – сказал он, – это связать себя навеки с страдающим человеком. Это вечное мученье». И он испытующим взглядом – Наташа видела теперь этот взгляд – посмотрел на нее. Наташа, как и всегда, ответила тогда прежде, чем успела подумать о том, что она отвечает; она сказала: «Это не может так продолжаться, этого не будет, вы будете здоровы – совсем». Она теперь сначала видела его и переживала теперь все то, что она чувствовала тогда. Она вспомнила продолжительный, грустный, строгий взгляд его при этих словах и поняла значение упрека и отчаяния этого продолжительного взгляда.

Скрытая категория:

Уравнения мелкой воды - Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Уравнения мелкой воды (известные также как уравнения Сен-Венана (англ.) в линейной форме) — система гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных, которая описывает потоки под поверхностью жидкости.

Ситуации, когда глубина акватории много меньше горизонтальных размеров, достаточно обычна, поэтому уравнения мелкой воды находят широкое применение. Они используются с учётом кориолисовых сил при моделировании атмосферы и океана как упрощение системы примитивных уравнений, описывающих потоки в атмосфере.

Уравнения[ | ]

Консервативная форма[ | ]

Неконсервативная форма[ | ]

где

Применение в моделировании[ | ]

Уравнения мелкой воды можно применять для моделирования волн Волны и Кельвина (англ.) в атмосфере, реках, озёрах, океанах, а также более мелких водоёмах. таких как бассейны. Для того, чтобы применение уравнений мелкой воды было корректным, горизонтальные размеры акватории должны быть значительно больше глубины. Уравнения мелкой воды пригодны также для моделирования приливов. Приливное движение, имеющее горизонтальные масштабы в сотни километров, могут считаться явлениями мелкой воды, даже если происходят над многокилометровыми океанскими глубинами.

См. также[ | ]

Примечания[ | ]

Литература[ | ]

Темам Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ. — 2-е изд. — М.: Мир, 1981. — 408 с.
Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Гидродинамика. — Издание 4-е, стереотипное. — М.: Наука, 1988. — 736 с. — («Теоретическая физика», том VI).
Кутепов А. М., Стерман Л. С., Стюшин Н. Г. Гидродинамика и теплообмен при парообразовании. — 3-е изд., испр.. — М.: Высшая школа, 1986. — 448 с.
Кутепов А. М., Полянин А. Д., Запрянов З. Д., Вязьмин А. В., Казенин Д. А. Химическая гидродинамика. — М.: Квантум, 1996. — 336 с. — 1500 экз.